Erwartete Rendite und Standardabweichung eines Portfolios im Zwei- oder Drei-Aktien-Fall

In der Investitionsrechnung werden Studenten der BWL gerne vor die Aufgabe gestellt, die erwartete Rendite und Standardabweichung eines Portfolios zu berechnen. Wie dies im einfachen Zwei-Aktien-Fall und im etwas schwierigeren Drei-Aktien-Fall funktioniert, zeigt dieser E-Learning-Beitrag anschaulich an zwei Rechenbeispielen.

Der Zwei-Aktien-Fall

Gegeben sei folgendes Portfolio P mit den Aktien A und B

Aktie A B
Erwartete Rendite 20 % 12 %
Standardabweichung 45 % 35 %

Berechnet werden soll die erwartete Rendite und die Standardabweichung des Portfolios mit der Maßgabe, dass das Portfolio zu 60 % aus Aktien des Typs A und zu 40 % aus Aktien des Typs B besteht. Die Korrelation der beiden Aktien miteinander betrage 0,3.

Zuerst wird die erwartete Rendite berechnet, hierzu wird im Fall von zwei Aktien folgende Formel verwendet:

μP = x1 · μ1 + x2 · μ2

Die Formel mit Leben gefüllt lautet dann:

μP = 0,6 · 0,2 + 0,4 · 0,12

Das Ergebnis lautet somit μP = 0,168 – die erwartete Rendite des Portfolios beträgt also 16,8 %.

Nachdem die Rendite des Portfolios nun bekannt ist, soll nun noch die Standardabweichung des Portfolios bestimmt werden.

Hierzu verwenden wir die Formel für die Varianz eines Portfolios mit zwei Wertpapieren.

ρP2 = x12 · σ12 + x22 · σ22 + 2 · x1 · x2 · σ1 · σ2 · Ρ1,2

Auch diese Formel wird mit Leben gefüllt:

ρP2 = 0,62 · 0,452 + 0,42 · 0,352 + 2 · 0,6 · 0,4 · 0,45 · 0,35 · 0,3

Als Ergebnis erhalten wir Var(Rp) = 0,11518

Aber Achtung, dies ist die Varianz des Portfolios. Gefragt war aber nicht nach der Varianz, sondern nach der Standardabweichung. Aber kein Problem, einmal die Wurzel ziehen und wir halten die Standardabweichung.

σP = √0,11518 ≈ 0,3394

Die Standardabweichung des Portfolios beträgt also ungefähr 33,94 %.

Der Drei-Aktien-Fall

Gegeben Sie folgendes Portfolio P:

Aktie A B C
Erwartete Rendite 8 % 12 % 25%
Standardabweichung 10 % 14 % 16 %

Die Korrelationen zwischen den einzelnen Aktien sei wie folgt:

   A   B   C  
A 1 0,2 0
B 1 0,6
C     1

Darüber hinaus wird angenommen, dass alle Aktien gleichgewichtet sind.

Zuerst wird wieder die erwartete Rendite des Portfolios berechnet:

μP = x1 · μ1 + x2 · μ2 + x3 · μ3

Aus der Angabe, dass alle Aktien gleichgewichtet sind, kann geschlossen werden, dass die Gewichte jeweils 1/3 betragen. Für die Formel bedeutet dies:

μP = 1/3 · 0,08 + 1/3 · 0,12 + 1/3 · 0,25 = 0,15

Die erwartete Rendite des Portfolios beträgt also 15 %.

Bei der Standardabweichung wird es nun ein wenig komplizierter, weil wir die Korrelationen zwischen den einzelnen Aktien beachten müssen. Die Formel für die Varianz eines Portfolios im Fall von drei Aktien lautet:

ρP2 = x12 · σ12 + x22 · σ22 + x32 · σ32
      + 2 · x1 · x2 · σ1 · σ2 · Ρ1,2
      + 2 · x1 · x3 · σ1 · σ3 · Ρ1,3
      + 2 · x2 · x3 · σ2 · σ3 · Ρ2,3

Mit Leben gefüllt sieht sie dann wie folgt aus:

ρP2 = (1/3)2 · 0,102 + (1/3)2 · 0,142 + (1/3)2 · 0,162
      + 2 · 1/3 · 1/3 · 0,10 · 0,14 · 0,2
      + 2 · 1/3 · 1/3 · 0,10 · 0,16 · 0
      + 2 · 1/3 · 1/3 · 0,14 · 0,16 · 0,6

ρP2 = 274/28125

Um die Standardabweichung zu erhalten, wird noch einmal die Wurzel gezogen.

ρP = √274/28125 ≈ 0.0987

Die Standardabweichung des Portfolios beträgt somit 9,87 %.

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